Vizualizare sursă pentru „Binomul lui Newton”

În [[algebră|algebra]] elementară, '''binomul lui Newton''' este denumirea formulei pentru ridicarea la o anumită [[putere (matematică)|putere]] cu [[număr natural|exponent natural]] a unui binom:

<math>(x+y)^n=\sum_{k=0}^n \mathbf{C}_n^k \cdot x^{n-k} \cdot y^k</math>
<br /><br /> 
<math>(x-y)^n=\sum_{k=0}^n (-1)^k \cdot \mathbf{C}_n^k \cdot x^{n-k} \cdot y^k</math><br />

<math> \mathbf{C}_n^k </math> poate apărea scris și astfel: <math> {n \choose k} </math>

Binomul lui Newton era cunoscut cu secole înainte de Newton de gânditorii arabi ca [[Al-Kashi]].<ref>A. P. Iușkevici, ''Istoria matematicii in Evul Mediu'', Editura Științifică, București, 1963, pp. 255-258</ref>
== Generalizare ==
Prin 1665, [[Isaac Newton]] generalizează formula și pentru puteri cu exponent [[număr real|reale]], nu numai [[număr natural|naturale]].
În acest caz, suma este înlocuită cu o serie infinită cu numele de [[serie binomială]].

Pentru aceasta se definește [[simbolul lui Pochhammer]] <math>(\cdot)_k</math> prin relația:

:<math>{r \choose k}=\frac{r\,(r-1) \cdots (r-k+1)}{k!} =\frac{(r)_k}{k!},</math>

Astfel, dacă ''x'', ''y'' sunt numere reale cu proprietatea |''x''|&nbsp;>&nbsp;|''y''|:

:<math>
\begin{align}
(x+y)^r & =\sum_{k=0}^\infty {r \choose k} x^{r-k} y^k \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(2) \\
& = x^r + r x^{r-1} y + \frac{r(r-1)}{2!} x^{r-2} y^2 + \frac{r(r-1)(r-2)}{3!} x^{r-3} y^3 + \cdots.
\end{align}
</math>

=== Exemplu ===
Se pot calcula radicali din sume, ca mai jos:

:<math>
(1 + x)^{-1/2} = 3^{-1/2} \left ( 1+ \frac 1 3 x  \right )^{-1/2}= \frac {1}{ \sqrt 3} \left ( 1 - \frac {1}{6} x + \frac {1}{24} x^2 - \frac {5}{432} x^3 + \cdots \right )
</math>

Seria este convergentă pentru <math> |x| < 3.  </math>

==Folosire în demonstrații==
Binomul lui Newton poate fi folosit la stabilirea formulei binomiale care definește valoarea [[e (constantă matematică)|numărului ''e'']].

== Note ==
<references />

== Vezi și ==
* [[Coeficient binomial]]
* [[Teorema multinomială]]
* [[Serie binomială]]
* [[Radical (matematică)]]

== Legături externe ==
{{Informații bibliotecare}}
{{ciot-matematică}}

[[Categorie:Subiecte factoriale și binomiale]]
[[Categorie:Isaac Newton]]