Vizualizare sursă pentru „Coeficient binomial”

'''Coeficienții binomiali''' sunt fiecare dintre [[coeficient|coeficienții]] care apar pe lîngă [[termen (matematică)|termenii]] din dezvoltarea [[binom]]ului : 
:<math>(a + b)^n \,</math>.

Sunt de forma: 
:<math> \ {C}^k_n  </math>
această structură citindu-se: "Combinări de n luate câte k", unde 
:<math>{C}^k_n = \frac{n!}{(n-k)!\cdot k!} </math>, 
iar 
:<math> n!=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ....... \cdot n = \prod_{k=1}^n k</math>, 
citindu-se "N Factorial".
==Notație==
Coeficientul binomial se notează cu <math>n \choose k </math>. Astfel, se poate scrie :

: <math> {n \choose k}  = {n \choose {n - k}} = {n \choose k, {n - k}} = {n \choose k, {n - k}, 0} </math>.

unde ultimii doi termeni din șirul de egalități sunt coeficienți multinomiali.

Alte notații întâlnite pentru coeficientul binomial sunt :

:<math>C^n_k = C(n,k) = binomial(n,k) </math>.

==Definiție combinatorică==

:Coeficientul binomial indică numărul de moduri în care poate fi alcătuită o mulțime din două sorturi de elemente, a câte k<sub>1</sub> și k<sub>2</sub> elemente din fiecare sort.

:: '''Ens ( X + Y ) = Ens ( X ) . Ens ( Y ) '''
: Pentru a afla direct din definiție valorea coeficientului binomial, se trece la funcția generatoare exponențială

::<math> \sum_{n} \frac{(x+y)^n}{n!}  = e^{x+y} = e^x \cdot e^y 
= \sum_{k1} \frac{x^{k_1}}{k_1!} 
  \sum_{k2} \frac {y^{k_2}}{k_2!}
= \sum_{k1, k2} \frac{x^{k_1}}{k_1!} \frac {y^{k_2}}{k_2!}
= \sum_{n}  
            \sum_{k_1+k_2=n}   
            \frac {x^{k_1}} {k_1!} 
            \frac {y^{k_2}} {k_2!}
</math>
: După egalarea termen cu termen se obține, pentru fiecare n,

::<math> \frac{(x+y)^n}{n!}  =  \sum_{k_1+k_2=n}   
                                \frac {x^{k_1}} {k_1!} 
                                \frac {y^{k_2}} {k_2!}
  </math> 
: de unde rezultă coeficientul binomial dorit 
::<math> (x+y)^n =  \sum_{k_1+k_2=n}   
                    \frac {n!} {k_1!k_2!} 
                      {x^{k_1}}{y^{k_2}}          
</math>

== Vezi și ==
* [[Binomul lui Newton]]
* [[Factorial]]
* [[Teorema multinomială]]
* [[Triunghiul lui Pascal]]

==Legături externe==
* [http://www.elektro-energetika.cz/calculations/komb.php?language=romana Calculul de la Coeficient binomial]

[[Categorie:Subiecte factoriale și binomiale]]
[[Categorie:Combinatorică]]