Vizualizare sursă pentru „Indicatorul lui Euler”

'''Indicatorul lui Euler''' sau funcția lui [[Leonhard Euler|Euler]] se notează cu φ(''n'') (unde n este un [[număr natural]] nenul ) și φ(''n'') reprezintă numărul de numere mai mici sau egale cu n și [[Numere prime între ele|prime cu acesta]].
* Exemple: φ(''0'') = 1 prin convenție; φ(''1'') = 1 ;φ(''2'') = 1 ; φ(''3'') = 2 ; φ(''4'') = 2 ;φ(''5'') = 4 ;φ(''720'') = 192 ; φ(''p'') = p-1 , dacă p este număr [[Număr prim|prim]].
* Primele valori ale lui φ(''n'')

{| class="wikitable"
! <math>\phi(n)</math>
! +0 || +1 || +2 || +3 || +4 || +5 || +6 || +7 || +8 || +9
|- 
! 0+ 
| &nbsp; || 1 || 1 || 2 || 2 || 4 || 2 || 6 || 4 || 6
|-
!10+ 
|  4 || 10 || 4 || 12 ||  6 ||  8 ||  8 || 16 ||  6 || 18 
|- 
!20+ 
|  8 || 12 || 10 || 22 || 8 || 20 || 12 || 18 || 12 || 28 
|-
!30+ 
|  8 || 30 || 16 || 20 || 16 || 24 || 12 || 36 || 18 || 24
|-
!40+
| 16 || 40 || 12 || 42 || 20 || 24 || 22 || 46 || 16 || 42
|-
!50+
| 20 || 32 || 24 || 52 || 18 || 40 || 24 || 36 || 28 || 58
|-
!60+ 
| 16 || 60 || 30 || 36 || 32 || 48 || 20 || 66 || 32 || 44
|-
!70+ 
| 24 || 70 || 24 || 72 || 36 || 40 || 36 || 60 || 24 || 78
|-
!80+
| 32 || 54 || 40 || 82 || 24 || 64 || 42 || 56 || 40 || 88
|}

* Dacă <math>n = p_1^{k_1} \cdots p_r^{k_r}</math> este [[descompunerea în factori primi]] distincți ai lui n unde <math>p_j</math> sunt numere prime distincte, avem formula
:<math>\phi(n)=(p_{1}-1)p_{1}^{k_{1}-1} \cdots (p_{r}-1)p_{r}^{k_{r}-1}</math>
Aceasta se poate scrie și
:<math>\phi(n)=n\prod_{p|n}\left(1-\frac{1}{p}\right)</math>
unde produsul se face după numerele prime distincte ''p''<sub>''r''</sub>.

== Teorema lui Euler ==
<math>a^{\varphi (n)} \equiv 1 \pmod{n}</math>, 
unde (a, n) = 1 , φ(''n'') este '''indicatorul lui Euler''', a este [[număr întreg]] și n>1 , natural.
* Dacă n este [[număr prim]] se obține [[mica teoremă a lui Fermat]].
* Dacă (a, b) = 1 spunem că a și b sunt prime între ele.

== Legături externe ==
* {{en icon}} Miyata, Daisuke & Yamashita, Michinori, [http://www.ris.ac.jp/yamasita/open/mathconf-0.pdf Derivata logaritmică a funcției lui Euler]
* {{en icon}} Bordellès, Olivier, [http://les-mathematiques.u-strasbg.fr/phorum5/read.php?5,359275,359275 Numere prime cu ''q'' în <math>[1, n]</math>]
* {{en icon}} [http://www.t209.com/article.php?art_id=26 Calculul lui φ(n) de la ''n'' începând cu 2<sup>31</sup>]
* {{ro icon}} [http://share.pdfonline.com/a3fefe8830da479bb620eb7d0c28aaaf/aritmetica.pdf Share.PdfOnline]

[[Categorie:Teoria numerelor]]
[[Categorie:Leonhard Euler]]