Vizualizare sursă pentru „Inel (matematică)”

Un '''inel''' <math>I=(A, +, *)</math> este o structură algebrică formată dintr-o [[mulțime]] suport <math>\ A</math> și două operații binare, definite pe [[produsul cartezian]] <math>A \times A</math> cu valori în <math>\ A</math>, numite convențional <math>+</math> (sau operația aditivă) și <math>*</math> (sau operația multiplicativă), astfel încât:
#<math>G = ( A , + )</math> formează un [[grup]] [[comutativ]] sau [[abelian]]. Elementul neutru al lui <math>G</math> se notează în general cu <math>0</math>.
#<math>S = ( A, * )</math> formează un [[monoid]].
# Se îndeplinește proprietatea de [[distributivitate]] a înmulțirii față de adunare, adică pentru orice <math>x,y,z\in A</math>: 
::<math>x*(y+z) = (x*y) + (x*z)</math>
::<math>(y+z)*x = (y*x) + (z*x)</math>

Termenul a fost introdus în [[1897]] de [[David Hilbert]].<ref>[http://www.math93.com/index.php/histoire-des-maths/notions-et-theoremes Math93, Une histoire des Mathématiques]</ref>

==Definiții==
Dacă operația de înmulțire este comutativă, adică
:<math>(\forall x,y\in A)\  x*y=y*x</math> atunci inelul <math>A</math> este un '''''inel comutativ'''''.
Dacă <math>A\ne\{0\}</math> și înmulțirea admite element neutru, adică
:<math>(\exists 1\in A)\ (\forall x\in A)\ 1*x=x*1=x</math> atunci inelul <math>A</math> este '''''inel cu unitate''''' sau '''''inel unitar'''''.
Un inel comutativ cu cel puțin două elemente și fără divizori ai lui zero se numește [[inel integru]] (sau domeniu de integritate).<ref>Ioan Purdea, Gheorghe Pic, ''Tratat de algebră modernă'', Vol. 1, Editura Academiei Republicii Socialiste România, București, 1977, p. 219</ref>

Un inel în care orice element (în afară de  <math>0</math>) are invers față de înmulțire se numește [[Corp (matematică)|corp]].

Elementul neutru în raport cu operația <math>+</math> se notează  <math>0</math> și se numește '''''elementul nul''''', iar simetricul lui <math>x\in A</math> în raport cu adunarea se notează <math>-x</math> și se numește '''''opusul''''' lui <math>x</math>. În loc de <math>x+(-y)</math>, vom nota <math>x-y</math>.

Dacă <math>A</math> este '''''inel unitar''''', atunci elementele lui <math>A</math> simetrizabile în raport cu operația multiplicativă se numesc '''''elemente inversabile''''' .

Se notează cu <math>U(A)</math> mulțimea elementelor inversabile ale inelului unitar <math>A</math>, adică  
:<math>U(A)=\{x\in A|\exists \ x^,\in A, x*\ x^,=\ x^,*x=1\}</math>

Fie <math>A</math> un inel. Două elemente <math>x,y\in A</math> se numesc '''''permutabile''''' dacă <math>x*y=y*x</math>. Un element <math>a\in A</math> se numește '''''element central''''' dacă el permută cu orice element din inelul <math>A</math>.
Mulțimea
::<math>C(A):=\{a\in A|a*x=x*a, \forall x\in A\}</math> 
a tuturor elementelor centrale din <math>A</math> se numește '''''centrul inelului''''' <math>A</math>.

==Exemple de inele==
#'''''Inelul numerelor întregi'''''
#:<math>(\mathbb{Z},+,*)</math> este inel comutativ în care elementul nul este 0 și elementul unitate este 1, iar <math>U(\mathbb{Z})=\{-1,1\}</math>.
#'''''Inelul numerelor raționale'''''
#:<math>(\mathbb{Q},+,*)</math> este inel comutativ în care elementul nul este 0 și elementul unitate este 1. În plus <math>U(\mathbb{Q})=\mathbb{Q^*}</math>.
#'''''Inelul numerelor reale'''''
#:<math>(\mathbb{R},+,*)</math> este inel comutativ în care elementul nul este 0 și elementul unitate este 1. În plus <math>U(\mathbb{R})=\mathbb{R^*}</math>.
#'''''Inelul numerelor complexe'''''
#:<math>(\mathbb{C},+,*)</math> este inel comutativ cu <math>U(\mathbb{C})=\mathbb{C^*}</math>.
#'''''Inelul <math>\mathbb{Z}_n</math> al claselor de resturi modulo n. 
#:<math>(\mathbb{Z}_n,+,*)</math> este inel comutativ, iar <math>U(\mathbb{Z}_n)=\{\hat a\in \mathbb{Z}_n| (a,n)=1\}</math>.

==Proprietăți==
Fie <math>A</math> un inel. Atunci pentru <math>\forall x,y,z\in A</math>, avem:
#<math>x*0=0*x=0</math>
#<math>(-x)*y=x*(-y)=-x*y</math>
#<math>(-x)*(-y)=x*y</math>
#<math>x*(y-z)=x*y-x*z</math> și <math>(y-z)*x=y*x-z*x</math>
#Dacă <math>A</math> este inel cu unitate, atunci <math>(-1)*x=-x</math>
#Dacă <math>n\in \mathbb{N}^*</math>,atunci definim <math>x^1=x</math> și <math>x^m=x^{m-1} *x, (m \geq 2) </math>. Pentru <math>\forall m,n\in \mathbb{N}^*</math>, avem <math>x^{m+n}=x^m*x^n</math>.

==Note==
<references />

==Bibliografie==
* Gheorghe Ivan, Paul Mihai Șușoi, ''Elemente de teoria polinoamelor și a ecuațiilor algebrice'', Editura Ionescu, 2001.
* Vasile Popuța,'' Algebră. Curs elementar de structuri fundamentale'', Editura Mirton, Timișoara, 1998.

== Vezi și ==
* [[Inelul numerelor întregi]]
* [[Corp (matematică)]]

[[Categorie:Structuri algebrice]]