Vizualizare sursă pentru „Lucru mecanic”

'''Lucrul mecanic''' este o mărime [[fizică]] definită ca produsul dintre componenta [[forță|forței]] care acționează asupra unui [[corp (fizică)|corp]] în direcția [[deplasare|deplasării]] punctului ei de aplicație și mărimea [[drum (cinematică)|drum]]ului parcurs. <ref name="DER">[[Academia Română|Academia Republicii Populare Române]] ''[[Dicționar Enciclopedic Român]]'', Editura Politică, București, 1962-1966</ref> E o mărime ce caracterizează schimbarea stării dinamice a sistemului. Lucrul mecanic este o [[mărime fizică derivată]], [[mărime fizică scalară|scalară]], [[mărime fizică extensivă|extensivă ]] în raport cu drumul, având caracter de [[mărime fizică de transformare|mărime de transformare]] legată de variația [[mărime fizică de stare|mărimii de stare]] [[energie]]. Analitic, lucrul mecanic elementar efectuat pentru un drum infinitezimal <math> \scriptstyle d \vec r</math> se definește ca produsul scalar al forței și deplasării (drumului infinitezimal): <math>\scriptstyle  \delta L=\vec F \cdot d \vec r = F\,dr \cdot \cos \alpha </math>. În general, lucrul mecanic nu admite diferențială totală exactă decât în anumite cazuri speciale cum ar fi mișcarea sub acțiunea [[forță conservativă|forțelor conservative]].

== Terminologie ==

Termenul de ''lucru'' (în [[franceză]] ''travail'') ''al unei forțe'' a fost utilizat pentru prima oară într-un articol din 1826 al matematicianului și inginerului mecanic francez [[Gaspard-Gustave Coriolis]] și apoi în cartea ''Du calcul de l'effet des machines'' din 1829 a aceluiași autor.<ref>{{citat carte | last = Jammer | first = Max  | title = Concepts of Force | publisher = Dover Publications, Inc. | year = 1957 | isbn = 0-486-40689-X}}</ref><ref>''Sur une nouvelle dénomination et sur une nouvelle unité à introduire dans la dynamique'', Académie des sciences, August 1826</ref>

Înainte de denumirea dată de Coriolis, Carnot se referea la acest concept cu numele ''putere motrice'' în lucrarea sa din 1824 ''Despre puterea motrice a focului'' (''Sur la puissance motrice du feu''). 

Denumirea de ''lucru mecanic'' a fost introdusă de [[Jean-Victor Poncelet]].

== Variația energiei unui sistem ==
Efectuarea unui lucru mecanic asupra unui (respectiv, de către un) [[sistem fizic]] duce la modificarea [[energie]]i sistemului cu o cantitate egală cu lucrul mecanic efectuat asupra sistemului (respectiv, de către sistem). Așadar, lucrul mecanic este o formă a schimbului de energie între un sistem și lumea înconjurătoare. <ref>Țițeica, p. 35</ref>

== Definirea matematică generală ==
[[Fișier:Mehaaniline töö.png|thumb|right|300px|Lucrul mecanic al unei forțe necoliniare cu deplasarea.]]
Pentru o forță constantă <math>\vec F</math> care își deplasează punctul de aplicație după un segment de dreaptă <math>\vec{s}</math>, lucrul mecanic efectuat ''L'' este egal cu [[produs scalar|produsul scalar]]:
<table>
<tr> <td width="50"> </td> <td width="250"> <math> L=\vec F \cdot \vec s = F\,s \cdot \cos \alpha </math> </td> <td width="50"> <math> (3.1) </math> </td> </tr>
</table>
unde α este unghiul dintre direcția forței și direcția de deplasare. Lucrul mecanic este pozitiv dacă punctul de aplicație se deplasează în același sens cu forța (α<90°), negativ dacă punctul de aplicație se deplasează în sens invers forței (α>90°) și nul dacă punctul de aplicație este fix sau se deplasează perpendicular pe direcția forței (α=90°).

În cazul general, lucrul mecanic este definit ca o [[integrală curbilinie]]: <ref name="LTR">[[Remus Răduleț|Răduleț, R.]] și colab. ''[[Lexiconul Tehnic Român]]'', [[Editura Tehnică]], București, 1957-1966.</ref>
<table>
<tr> <td width="50"> </td> <td width="350"> <math> L = \int_{P1}^{P2} \vec F \mathrm{d} \vec s = \int_{P1}^{P2} F \mathrm{d} s \cos \alpha </math> </td> <td width="50"> <math> (3.2) </math> </td> </tr>
</table>
unde <math>\vec s</math> este vectorul de poziție al punctului de aplicație al forței, iar ''P1'' și ''P2'' sunt pozițiile inițială și finală ale deplasării.

Folosind exprimarea analitică a vectorilor <math>\vec F</math> și <math>d \vec r \!</math> în funcție de
proiecțiile vectorilor pe axele unui [[coordonate carteziene|sistem cartezian]] '''Oxyz''':

<table>
<tr> <td width="50"> </td> <td width="450"> <math>\vec F = \vec i F_x + \vec j F_y + \vec k F_z; \; \; d \vec s = \vec i dx + \vec j dy + \vec k dz </math> </td> <td width="50"> <math> (3.3) </math> </td> </tr>
</table>

expresia (3.2) devine:

<table>
<tr> <td width="50"> </td> <td width="350"> <math> dL = F_x dx + F_y dy + F_z dz </math> </td> <td width="50"> <math> (3.4) </math> </td> </tr>
</table>

În funcție de viteza <math>\vec v =\dot { \vec s}, \!</math> expresia lucrului mecanic elementar este:


<table>
<tr> <td width="50"> </td> <td width="350"> <math> d  L = \vec F \cdot \vec v \cdot dt = (F_x \dot x + F_y \dot y + F_z \dot z) dt. </math> </td> <td width="50"> <math> (3.5) </math> </td> </tr>
</table>

== Proprietăți ==
a) este o mărime scalară având ca unitate de măsură în [[Sistemul internațional de unități|sistemul internațional]] '''SI''' joule-ul ('''J'''), iar în sistemul [[MKfS]] (sistemul tehnic de unități) kilogram-forță - metrul (kgf.m);

b) este pozitiv când <math>\angle (\vec F \cdot d \vec r) = \alpha \in (0, \frac {\pi}{2}) \!</math> și poartă în acest caz numele de ''lucru mecanic motor''

c) este negativ când <math>\angle (\vec F \cdot d \vec r) = \alpha \in ( \frac {\pi}{2}, \pi) \!</math> și poartă în acest caz numele de ''lucru mecanic rezistent''

d) este nul când <math>\alpha = \frac {\pi}{2} \!</math>

e) dacă deplasarea <math>d \vec r \!</math> este compusă din '''n''' deplasări elementare:

<table>
<tr> <td width="50"> </td> <td width="350"> <math> d \vec r = d \vec r_1 + d \vec r_2 + \cdots d \vec r_n</math> </td> <td width="50"> <math> (4.1) </math> </td> </tr>
</table>

atunci:

<table>
<tr> <td width="50"> </td> <td width="350"> <math> dL = \vec F \cdot d \vec r = \vec F \cdot d \vec r_1 + \vec F \cdot d \vec r_2 + \cdots + \vec F \cdot d \vec r_n</math> </td> <td width="50"> <math> (4.2) </math> </td> </tr>
</table>

Deci: '''lucrul mecanic elementar corespunzător unei deplasări compuse este egal cu suma
lucrurilor mecanice elementare aferente deplasărilor componente;'''

f) dacă forța F reprezintă rezultanta unică a unui sistem de forțe:

<table>
<tr> <td width="50"> </td> <td width="350"> <math> \vec F = \vec F_1 + \vec F_2 + \cdots + \vec F_n</math> </td> <td width="50"> <math> (4.3) </math> </td> </tr>
</table>

atunci lucrul mecanic este:

<table>
<tr> <td width="50"> </td> <td width="350"> <math> dL = \vec F \cdot d \vec r = \vec F_1 \cdot d \vec r + \vec F_2 \cdot d \vec r + \cdots + \vec F_n \cdot d \vec r</math> </td> <td width="50"> <math> (4.4) </math> </td> </tr>
</table>

Adică, '''lucrul mecanic elementar corespunzător rezultantei unui sistem de forțe este egal cu
suma algebrică a lucrurilor mecanice elementare ale forțelor componente.'''

== Lucrul mecanic în cazul forțelor conservative ==
În cazul în care forța F este [[forță conservativă|conservativă]], expresia acesteia este:

<table>
<tr> <td width="50"> </td> <td width="450"> <math> \vec F = \nabla U = \frac{\partial U}{\partial x} \vec i +\frac{\partial U}{\partial y} \vec j +\frac{\partial U}{\partial z} \vec k = \mathit {grad} U,</math> </td> <td width="50"> <math> (5.1) </math> </td> </tr>
</table>

unde <math>U(x, y, z) \!</math> este ''funcția de forță''.

Funcția de forță este o funcție scalară de coordonatele punctului, cu ajutorul căreia se pot
determina componentele forței astfel:

<table>
<tr> <td width="50"> </td> <td width="350"> <math> \begin{cases} F_x = \frac{\partial U}{\partial x} \\ \\  F_y = \frac{\partial U}{\partial y} \\  \\ F_z = \frac{\partial U}{\partial z}    \end{cases}</math> </td> <td width="50"> <math> (5.2) </math> </td> </tr>
</table>

Pentru a exista o funcție de forță trebuie îndeplinite ''condițiile lui [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]]'', care sunt :

<table>
<tr> <td width="50"> </td> <td width="450"> <math>\frac{\partial F_x}{\partial y} = \frac{\partial F_y}{\partial x}; \!</math> &nbsp; &nbsp; <math>\frac{\partial F_y}{\partial z} = \frac{\partial F_z}{\partial y}; \!</math> &nbsp; &nbsp; <math>\frac{\partial F_z}{\partial x} = \frac{\partial F_x}{\partial z} \!</math> </td> <td width="50"> <math> (5.3) </math> </td> </tr>
</table>

Lucrul mecanic elementar este: 

<table>
<tr> <td width="50"> </td> <td width="450"> <math>dL = \vec F \cdot d \vec r = \frac {\partial U}{\partial x} dx + \frac {\partial U}{\partial y} dy + \frac {\partial U}{\partial z} dz = dU</math> </td> <td width="50"> <math> (5.4) </math> </td> </tr>
</table>

<table>
<tr> <td width="50"> </td> <td width="450"> <math>dL=dU</math> </td> <td width="50"> <math> (5.5) </math> </td> </tr>
</table>

Lucrul mecanic total este: 

<table>
<tr> <td width="50"> </td> <td width="450"> <math>L_{A-B} = \int_{AB} \vec F d \vec r = \int_A^B dU = U_B-U_A</math> </td> <td width="50"> <math> (5.6) </math> </td> </tr>
</table>

unde <math>U_A = U(x_A, y_A, z_A) \!</math> și <math>U_B = U(x_B, y_B, z_B) \!</math> sunt funcțiile de forță corespunzătoare pozițiilor inițială și finală.


Rezultă că: '''lucrul mecanic total în cazul unei forțe conservative depinde numai de pozițiile
inițială și finală ale punctului, fiind independent de forma traiectoriei.'''
În locul funcției '''U''', se poate considera funcția '''V''', numită și ''funcție Potențial'' și definită prin
relația: <math>V = -U .</math>
În acest caz, lucrul mecanic elementar are expresia <math>dL = -dV .</math>

Funcția de forță '''U''' și funcția potențial '''V''' nu pot fi determinate decât cu aproximația unei
constante.

Dacă un punct material este acționat simultan de un sistem de forțe conservative <math>\vec F_1, \vec F_2, \cdots , \vec F_n \!</math> care derivă din funcțiile de forță <math>U_1, U_2, \cdots , U_n, \!</math> astfel încât:

<table>
<tr> <td width="50"> </td> <td width="450"> <math>\begin{matrix} F_{x1} = \frac{\partial U_1}{\partial x} &  F_{y1} = \frac{\partial U_1}{\partial y} & F_{z1} = \frac{\partial U_1}{\partial z} \\ \\ F_{x2} = \frac{\partial U_2}{\partial x} & F_{y2} = \frac{\partial U_2}{\partial y} & F_{z2} = \frac{\partial U_2}{\partial z} \\ \\ \cdots & \cdots & \cdots \\  \\  F_{xn} = \frac{\partial U_n}{\partial x} & F_{yn} = \frac{\partial U_n}{\partial y} & F_{zn} = \frac{\partial U_n}{\partial z}  \end{matrix}</math> </td> <td width="50"> <math> (5.7) </math> </td> </tr>
</table>

Rezultanta <math>\vec R = \vec F_1 + \vec F_2 + \cdots + \vec F_n \!</math> va avea proiecțiile:

<table>
<tr> <td width="50"> </td> <td width="450"> <math>F_x = \frac{\partial (U_1+U_2+ \cdots + U_n)}{\partial x} \!</math>
<math>F_y = \frac{\partial (U_1+U_2+ \cdots + U_n)}{\partial y} \!</math>
<math>F_z = \frac{\partial (U_1+U_2+ \cdots + U_n)}{\partial z} \!</math> </td> <td width="50"> <math> (5.8) </math> </td> </tr>
</table>

adică rezultanta &nbsp;<math>\vec R \!</math>&nbsp; derivă din funcția de forță &nbsp;<math>U= U_1 + U_2 + \cdots + U_n. \!</math>
Un astfel de sistem de forțe se numește ''sistem conservativ''.

== Cazuri particulare ==
Lucrul mecanic efectuat de o [[forță conservativă]] nu depinde de drumul efectuat de punctul material supus acțiunii acelei forțe, ci numai de pozițiile extreme ale traiectoriei.
Exemple de forțe conservative: [[greutate]]a, [[forța elastică]], [[legea lui Coulomb|forța electrostatică]].

=== Greutatea ===
Lucrul mecanic al forței de greutate are expresia:
<table>
<tr> <td width="50"> </td> <td width="350"> <math> L = mgh, </math> </td> <td width="50"> <math> (6.1.1) </math> </td> </tr>
</table>
unde:
* '''m''' = [[masă|masa]] corpului,
* '''g''' = [[accelerație gravitațională|accelerația gravitațională]],
* '''h''' = diferența de nivel dintre poziția finală și cea inițială a corpului.

De remarcat faptul că ''h'' este negativ când corpul urcă, în care caz <math> L<0. </math>

=== Forța elastică ===
[[Forța elastică]] ce apare la deformarea unui resort este o [[forță centrală]] care are la origine o deformație elastică a unui mediu, proporțională cu deformația '''x''', dar de sens contrar:
<table>
<tr> <td width="50"> </td> <td width="350"> <math> \vec \mathbf F = - k \vec \mathbf x. </math> </td> <td width="50"> <math> (6.2.1) </math> </td> </tr>
</table>

Lucrul mecanic al forței elastice atunci când resortul se deformează de la 0 la ''x'' este:
<table>
<tr> <td width="50"> </td> <td width="350"> <math> L = \int_0^x F(x) dx = \int_0^x (-kx) dx = -\frac {kx^2}{2}. </math> </td> <td width="50"> <math> (6.2.2) </math> </td> </tr>
</table>

=== Lucrul mecanic în [[câmp electric]] ===
[[Fișier:Lucrul mecanic al sarcinii electrice.png|thumb|right|150px]]
Se consideră [[câmp electric|câmpul electric]] generat de [[sarcină electrică|sarcina]] '''Q''', în care se deplasează sarcina sondă <math> q_0 </math>.

Lucrul mecanic ''de origine electrică'' sau mai exact electrochimică (furnizat de o [[baterie electrică]] sau [[celulă electrochimică]])<ref>Țițeica, pp. 155, 156</ref> efectuat de [[forță electrostatică|forța electrostatică]] ce acționează asupra sarcinii sondă este:
<table>
<tr> <td width="50"> </td> <td width="350"> <math> L_{AB} = \int_A^B \vec {F_0} \cdot d \vec R = \frac {1}{4 \pi \epsilon} \int_A^B \frac {\vec R \cdot d \vec R}{R^3}, </math> </td> <td width="50"> <math> (6.3.1) </math> </td> </tr>
</table>

unde

* <math> \vec R = x \vec i + y \vec j + z \vec k= </math> vectorul de poziție al sarcinii <math> q_0 </math>, considerate punctuale;
* <math> d \vec R = dx \cdot \vec  i +dy \cdot \vec j + dz \cdot \vec k= </math> vectorul deplasare al sarcinii;
* <math> \epsilon = </math> [[permitivitate (electromagnetism)|permitivitatea]] mediului.

Rezultă:

<table>
<tr> <td width="50"> </td> <td width="350"> <math> L_{AB} = \frac {Qq_0}{4 \pi \epsilon} \int_A^B \frac {dR}{R^2} = \frac {Qq_0}{4 \pi \epsilon} \left (  \frac {1}{R_a} - \frac {1}{R_b} \right ). </math> </td> <td width="50"> <math> (6.3.2) </math> </td> </tr>
</table>

Această formulă sevește la definirea [[potențial electric|potențialului electric]].

== Formulă dimensională și unități de măsură ==
Conform [[Analiză dimensională|analizei dimensionale]], formula dimensională pentru lucru mecanic se scrie sub forma:
<div style="text-align:center"><math> [ L ]=  [F][s]= M \cdot L^2 \cdot T^{-2}</math></div>

Adică, [[Dimensiune|dimensiunea fizică]] a lucrului mecanic este masă ori lungime la pătrat ori timpul la puterea minus doi.

În [[sistemul internațional de unități|Sistemul Internațional de Măsuri]]
forța se măsoară în [[newton]]i și lungimea în [[metru|metri]], rezultă că unitatea de măsură pentru lucru mecanic este:
<div style="text-align:center"><math> [ L ]_{SI}=  [F]_{SI}[s]_{SI}= N \cdot m = J (joule)</math></div>

În SI, lucrul mecanic se măsoară deci în [[joule]], notat prin litera ''J'', care este egal cu newton ori metru. Lucrul mecanic de un joule este efectuat de o forță de un newton, atunci când produce o deplasare de un metru a punctului său de aplicație paralel și în același sens cu vectorul forță .

În sistemul de măsuri tolerat, cgs, unitatea de măsură este <math>\scriptstyle [ L ]_{cgs}= [F]_{cgs}[s]_{cgs}=dyn\cdot cm= erg</math>, transformarea dintre cele două unități este dată de relația: <math>\scriptstyle 1 J=10^7 erg</math> sau reciproc: <math>\scriptstyle 1 erg=10^{-7} J</math>.

== Note ==
<references/>

== Bibliografie ==
* [[Șerban Țițeica]]: ''Termodinamica'', Editura Academiei Republicii Socialiste România, București, 1982.
* George C. Moisil: ''Termodinamica'', Editura Academiei RSR, București, 1988.
* Stoian Petrescu: ''Principiile termodinamicii'', Editura Tehnică, București, 1986.
* Eugen Toma: ''Introducere în astrofizică'', Editura Tehnică, București, 1980
* Ion M. Popescu: ''Fizica - Termodinamica'', Editura Politehnica Press, București, 2002

== Vezi și ==

* [[Mecanica solidelor]]
* [[Momentul forței]]
* [[Căldură]]
* [[Forță]]
* [[Deplasare]]
* [[Sistem termodinamic]] 
* [[Joule]]






[[Categorie:Mărimi fizice]]
[[Categorie:Mecanică]]