Vizualizare sursă pentru „Sferă”

{{otheruses}}
[[Fișier:Sphere and Ball.png|right|250px|thumb|O sferă în care raza este notată „r”]]

'''Sfera''' (din [[greacă]] ''σφαίρα'' - ''sphaira'') este suprafața unei [[bilă|bile]]. În spațiul euclidian 3-dimensional, sfera este mulțimea punctelor care se află la o distanță ''r'' ([[rază|raza]] sferei) de un punct ''c'' ([[centru]]l sferei), unde ''r'' este un [[număr real]] pozitiv. În cazul particular în care ''r''=1 sfera se numește '''sferă unitate'''.

În limbaj colocvial, noțiunea de sferă se folosește adesea pentru un corp geometric mărginit de sferă. În limbaj matematic un astfel de obiect se numește [[bilă]].

== Ecuații în '''R<sup>3</sup>''' ==

În [[geometrie analitică|geometria analitică]] sfera de centrul ''c''=(''x''<sub>0</sub>, ''y''<sub>0</sub>, ''z''<sub>0</sub>) și rază ''r''>0 este [[loc geometric|locul geometric]] al punctelor care satisfac ecuația (implicită)

:<math>\, (x - x_0 )^2 + (y - y_0 )^2 + ( z -  z_0 )^2 =  r^2.</math>

Dacă considerăm [[metrică|metrica]] euclidiană din '''R<sup>3</sup>''' atunci ecuația de mai sus nu inseamnă altceva decât că toate punctele sferei se află la aceași distanță ''r'' de punctul ''c''.

Considerând un sistem ortonormat de coordinate, sfera (ca suprafață 2-dimensională) poate fi exprimată prin ecuațiile parametrice

:<math>
   \begin{cases}
      x = x_0 + r \cos \varphi \; \sin \theta \\
      y = y_0 + r \sin \varphi \; \sin \theta \qquad (0 \leq \varphi \leq 2\pi \text{ si } 0 \leq \theta \leq \pi ) \\
      z = z_0 + r \cos \theta
   \end{cases}
</math>

Pentru fiecare valoare a parametrului θ se obține un cerc de pe sferă - astfel de cercuri se numesc '''paralele'''. Asemănător, pentru parametrul φ se obțin cercuri numite '''meridiane'''. Pentru θ=0 respectiv θ=π cercurile obținute sunt degenerate - aceste două puncte sunt '''polul nord''' (''x''<sub>0</sub>, ''y''<sub>0</sub>, ''z''<sub>0</sub> + ''r'') respectiv '''polul sud''' (''x''<sub>0</sub>, ''y''<sub>0</sub>, ''z''<sub>0</sub> - ''r'').

Pentru o sferă cu raza ''r''>0 [[arie|aria]] suprafeței este

:<math>A = 4 \pi r^2 \,</math>

iar [[volum]]ul este

:<math>V = \frac{4}{3}\pi r^3.</math>.

== Proprietăți ==

''Prin secțiuni plane ale sferei se obțin cercuri''
: Dacă se consideră un plan tangent la sferă se obține un cerc degenerat, adică un punct.

''Toate Geodezicele sferei sunt drumuri închise''
: [[geodezică|Geodezicele]] sferei sunt '''cercurile mari''', adică cercurile obținute din secțiuni cu plane care conțin centrul sferei.

''Dintre toate solidele cu un volum dat, sfera are cea mai mică arie a suprafeței''
: Pentru o arie dată, sfera de acea arie înconjoară cel mai mare volum.

''Sfera este invariată de grupul rotațiilor''
: Considerând o sferă cu centrul în origine, grupul rotațiilor '''SO(3)''' transformă sfera în ea însăși.

== Generalizări ==

Având în vedere [[spațiu ambient|spațiul ambient]] al sferei, cât și noțiunea de distanță se pot obține următoarele generalizări

* Sfera '''S<sup>n</sup>''' din [[spațiu euclidian|spațiul euclidian]] (n+1)-dimensional '''R<sup>n+1</sup>''' de centru ''c''=(''c''<sub>1</sub>, ''c''<sub>2</sub>,..., ''c''<sub>n+1</sub>) și rază ''r'' este mulțimea punctelor din '''R<sup>n+1</sup>''' care satisfac ecuația
::<math>\, (x_1 - c_1 )^2 + (x_2 - c_2 )^2 + ... + ( x_{n+1} -  c_{n+1} )^2 =  r^2.</math>.

* Într-un [[spațiu metric]] oarecare (X,d) sfera de centru ''c'' și rază ''r'' este
::<math>\{x\in X:d(x,c)=r\}</math>.

* Într-un [[spațiu topologic]] oarecare, o '''n-sferă''' este o submulțime a spațiului [[omeomorfism|omeomorfă]] cu '''S<sup>n</sup>''' pentru un număr natural ''n''.

== Legături externe ==
{{sisterlinks}}
* [http://mathworld.wolfram.com/Sphere.html Wolfram MathWorld]
* [http://www.descopera.ro/stiinta/929461-hronicul-si-cantecul-sferelor Hronicul si cantecul sferelor], 9 august 2007, Andreea Zaporojanu, ''Descoperă''

{{Informații bibliotecare}}
[[Categorie:Geometrie diferențială]]
[[Categorie:Figuri geometrice]]
[[Categorie:Suprafețe]]
[[Categorie:Topologie]]