Vizualizare sursă pentru „Teorema cosinusului”

În [[geometrie euclidiană|geometria plană]], '''teorema cosinusului''', cunoscută și sub numele de '''teorema lui Pitagora generalizată''' stabilește relația dintre lungimea unei laturi a unui [[triunghi]] în funcție de celelalte două laturi ale sale și [[cosinus]]ul [[unghi]]ului dintre ele. A fost demonstrată de [[Al-Kashi]].

==Enunț==
Într-un triunghi oarecare pătratul unei laturi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi minus de două ori produsul lor multiplicat cu cosinusul unghiului dintre ele.

'''Formula''':
:<math>BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2(AB)(AC)\cos A\,</math>

:<math>a^2 = c^2 + b^2 - 2cb\cos A\,</math>
sau:
:<math>cos(BAC)=(AB^2+AC^2-BC^2)/(2AB*AC)</math>
unde '''''AB=c''''', '''''AC=b''''' și '''''BC=a''''' sunt laturile triunghiului '''''ABC'''''.

==Demonstrație bazată pe teorema lui Pitagora==
[[Image:Triangle with trigonometric proof of the law of cosines.svg|thumb|right|330 px]] 
Se construiește înălțimea din unul din vârfurile laturii <math>c</math>, la fel ca în figura alăturată.<ref>Küstner, Hellwitch, Kästner, ''Petite encyclopédie des mathématiques'', Édition Didier, 1980, ch 11-2, p 265</ref>. Fără a restrânge generalitatea, se construiește și înălțimea opusă laturii <math>b</math>. Se formează astfel două triunghiuri dreptunghice. În triunghiul având ca [[ipotenuză]] latura <math>c</math>, se aplică [[teorema lui Pitagora]]:
:<math>\,c^2 = (a\sin\gamma)^2 + (b-a\cos\gamma)^2</math>,
ceea ce este echivalent cu formula enunțată.

==Note==
<references />

[[Categorie:Trigonometrie]]
[[Categorie:Teoreme matematice]]